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高频交易II:限价订单薄&最优执行

quantstart

2021-04-16 10:40:36

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在这个系列的新文章中,牛津大学数学博士研究员 Imanol Pérez,将介绍市场微观结构的概念。


正如我们在这一系列的第一篇文章中所看到的,电子市场的目的是去匹配那些愿意出售资产和愿意购买资产的参与者。这个主要是通过两种类型的订单来完成的:市场订单和限价订单。


市场订单(MO)是由那些愿意立刻购买或者出售资产的参与者发起的,最好是一个可以获得的最佳价格。然而,限价订单(LO)不会有这种紧迫感:他们的订单显示了参与者对于特定价格购买或者出售资产的兴趣。


所以,这些订单往往不会立刻执行,因为他们将必须等待直到一些其他的参与者愿意去用限价订单的特定价格来填补订单 - 如果该参与者曾经到达。当然,发起限价单的参与者可以决定在任何特定的点取消,如果他或她认为这样子操作方便的话。


因此,交易证券的价格并不是一个唯一的价格。它实际上是一个价格的集合,由所有可用的限价订单提供。这些价格形成了限价订单薄(LOB)。如果在LOB中有很多限价订单薄,到达的市场订单将更有可能在一个好的价格完美地匹配限价订单。因此,发型限价订单增加了资产的流动性 - 他们制造流动性。然而,市场订单产生相反的效果:因为他们与限价订单相匹配,他们有效地从市场中吸取了流动性。


在一个给定的时间t,买入价被定义为最佳可用的买入限价订单,而卖出价则是最佳可用的卖出限价订单。买入价和卖出价被表示为:



买入价和卖出价之间的差额被称为报价利差:



常识表明,为了避免套利机会,买入价不能大于卖出价,也就是说,所引用的利差不可能是负数 - 尽管在特殊情况下,这并不成立。一般来说,报价利差的大小取决于证券的流动性:流动性高的证券公司往往有较小的报价利差,因为在限购订单薄中,大量的限购订单薄倾向于减少报价利差。


然而,非流动性资产通常会有更多的利差。从某种意义上说,报价利差的大小将决定交易的成本,因为报价利差是如果交易者立即以最佳价格买卖资产,并且假设没有其他交易费用的情况下,他或她将不得不支付的费用。在流动性很强的资产中 ,这种成本很低,但在非流动性的资产中,这种成本不可以被忽视。


正如我们所讨论的,证券永远不会有唯一的价格。然而,尝试给出一个唯一的数字作为交易证券价格的代表通常是有用的。一种流行的方法是计算中间价格,也就是买入和出售价之间的平均值:



但是,这个价格可能有点不切实际,当限价订单的成交量处于最佳买入价和最佳卖出价的相差很大时。在这些情况下,微观价格可能更有用,因为它通过买入价和出售价的数量来对最佳买入价和最佳卖出价进行加权:



例如,如果以最佳买入价价格发布的限价订单的数量明显大于最佳出售价发布的限价订单的数量,微观价格将被推向出售价。



某证券的限购订单薄。报价利差和中间价格均在图中注明。


图来自Cartea,A.,Sebastian,J. and Penalva,J.


接下来,我们将分析最佳执行的问题,其中的目标是以最佳的方式购买或出售大量股票,为了尽量减少由我们自己的交易引起的价格波动。了解市场微观结构是如何运作的对于解决这个任务至关重要。这部分,Imanol使用随机最佳控制来最优地执行一个大的交易订单。


众所周知,当一个大订单试图去执行 - 无论是出售还是购买订单 - 市场价格都会受到影响。如果订单是一个大的卖单,价格将被拉低,而大的购买订单将增加。


在前面分析了市场的微观结构如何运行的之后,原因已经变得很清楚:大的市场订单不会被处于最佳价格的限价订单所填满,并且当这些限价订单被填满,市场订单将走单,从而影响股市的价格。


接下来我们将学习如何最佳的购买或者出售大量的特定的股票份额。这应该是将父订单分解为名叫子订单的单独部分来实现的。拆分父订单时要考虑快速执行和缓慢执行之间的平衡。快速执行对于股价有一个负面的影响。而缓慢执行会使交易者面临市场风险。我们将看到,把这个问题写成一个随机最优控制问题,这将使我们可以对这个问题找到一个满意的答案。


定义我们的模型


我们将从定义我们的模型开始。现在,我们假设交易者想要执行一个给定的库存。相反的问题 - 交易员想要获得大量股票的问题 - 也可以用类似的方法来解决。


v作为交易速度。这是一个交易员可以控制的变量,并且目的是去以一种最优方式选择它。


Qv作为交易者的库存,取决于交易速度。更具体的说,他将可以表示为



其中q表示交易员的初始库存。


Sv作为股票的中间价格。他也将取决于交易速度v,因为一个快速的速度,正如我们讨论的,将对价格产生负面的影响。我们将假设它具有以下动态:



W作为标准布朗运动。


Sv作为代理人可以出手资产的价格 - 可能达到限价订单策之后的执行价格。他将



其中,k>0 是一些参数,而delta是买卖价差,这将被假定为非负值。


Xv作为交易员拥有的现金数量,在以v的速度执行初始库存之后。


寻找最佳清算速度


让A作为所有可预测的非负的有边界过程的集合。这将是一套我们可行的策略集合 - 即,清算速度v将必须从A中挑选出来。假设我们想要在一个结束时间T清算一个P股的投资组合。然后我们的目的是尽量减少以下期望:



在所有可能的策略v∈A,α>0,我们要找到值函数



期望内的第一个术语表示我们通过一些策略v中获得的现金数量。另一个方面,第二个术语表明交易员必须执行所有在时间T未清算的股票。最后,第三个术语表明一个终端处罚,在这种情况下,我们会按时间T对未变现的所有股份进行处罚。


无需深入细节,人们可以用哈密顿-雅可比-贝尔曼方程来推导值函数H必须满足以下偏微分方程:



人们可以使用PDE显示,最佳清算速度由以下表示:



正如我们所见,随机分析提供利用市场微观结构如何工作一个很好的工具,以提出最佳执行问题的策略。





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